Среднеквадратическое отклонение –  количественная мера  рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Среднеквадратическое отклонение (Standard Deviation) – квадратный корень из Дисперсии.  σ ² — дисперсия. Дисперсия имеет размер квадрата случайной величины. Среднее квадратичное отклонение имеет размер случайной величины, поэтому для характеристики случайной величины часто удобнее использовать среднее квадратическое отклонение.

• С вероятностью 99,73% значение нормально распределённой случайной величины лежит в интервале +/-3σ. Но существует 0,27% вероятность выхода за границы интервала+/-3σ.
• С вероятностью 95,45% значение нормально распределённой случайной величины лежит в интервале +/-2σ.  Но существует 4,55% вероятность выхода за границы интервала+/-2σ.
• С вероятностью 68,3% значение нормально распределённой случайной величины лежит в интервале +/-σ. Но существует 31,7% вероятность того, что очередное значение выйдет за приделы доверительного интервала+/-σ.

Расчет среднеквадратичного отклонения (СКО) ставок  на Рулетке

BET	Num	K	D	SD
Straight up	1	35	34,0804	5,8378
Split	2	17	16,5668	4,0702
Street	3	11	10,7290	3,2755
Corner	4	8	7,8101	2,7947
Six-line	6	5	4,8912	2,2116
Dozen	12	2	1,9722	1,4044
Even Chances	18	1	0,9993	0,9996
Les voisins du zero	17		79,5997	8,9219
Tier	12		71,0007	8,4262
Orphelins	8		98,93	9,9462
0-Spiel	7		72,42	8,510
Neighbours 5	5		151,47	12,307
Complete 8	9		7 732,5	87,934

Методология расчета SD(X) – среднеквадратичного отклонения: Итог по колонке xP – Средний ожидаемый результат ставки – Математическое ожидание результата (House Advantage). Следует отметить, что значение House Advantage по всем ставкам на Рулетке одинаков, то есть все ставки на Рулетке равнозначны по ожидаемому результату, но значительно отличаются друг от друга по Дисперсии и СКО. Далее в расчетах будем использовать следующую формулу:

Сравнение среднеквадратичного отклонения различных ставок на Рулетке

Как видно из предыдущих таблиц, Дисперсия и СКО ставки Straight up значительно выше, чем СКО ставки на Dozen или Red. Играя только ставками Straight up результаты будут значительно отличаться от математического ожидания на короткой дистанции. Играя ставками на равные шансы (Even Chances) необходимо сыграть значительно меньше спинов (spin), чтобы итоговый результат игры приблизился к математическому ожиданию, чем при игре ставками в номера (Straight up) . С другой стороны, игра ставками с высокой дисперсией, с высоким риском позволяет игроку получить больший выигрыш на короткой дистанции.

 Среднеквадратичное отклонение в серии спинов

В игре на Рулетке равными ставками в номер и на равные шансы в серии 10000, 1000, 100 спинов:   σ1 – рассеивание фактических результатов при 10 000 спинов значительно меньше σ2 (1000 спинов) и σ3 (100 спинов). Чем больше выборка, тем ближе фактический результат приближается к математическому ожиданию. При увеличении количества спинов фактические результаты имеют меньшее рассеивание относительно среднего значения.

Графическое отражение EV SD

Standard Deviation of N Spins
STRAIGHT UP
Confidence Limits	+/-3 σ	99,73%
	+/-2 σ		95,5%
N	σ	EV-3σ	EV-2σ	EV	EV+2σ	EV-3σ
1	5,838	-17,49	-11,65	0,02703	11,70	17,54
10	18,46	-55,11	-36,65	0,27	37,19	55,65
100	58,4	-172,4	-114,1	2,7	119,5	177,8
1 000	185	-527	-342	27	396	581
10 000	584	-1 481	-897	270	1 438	2 022
100 000	1 846	-2 836	-989	2 703	6 395	8 241
1 000 000	5 838	9 514	15 351	27 027	38 703	44 541

 

Standard Deviation of N Spins, %
STRAIGHT UP
Confidence Limits	+/-3σ	99,73%
	+/-2σ		95,5%
N	σ	EV-3σ	EV-2σ	EV	EV+2σ	EV-3σ
1	583,8%	-1748,6%	-1164,9%	2,7%	1754,1%	1754,1%
10	184,6%	-551,1%	-366,5%	2,7%	556,5%	556,5%
100	58,38%	-172,4%	-114,1%	2,7%	177,8%	177,8%
1 000	18,46%	-52,7%	-34,2%	2,7%	58,1%	58,1%
10 000	5,838%	-14,8%	-9,0%	2,7%	20,2%	20,2%
100 000	1,846%	-2,8%	-1,0%	2,7%	8,2%	8,2%
1 000 000	0,584%	1,0%	1,5%	2,7%	4,5%	4,5%

 

Standard Deviation of N Spins
EVEN CHANCES
Confidence Limits	+/-3σ	99,73%
	+/-2σ		95,5%
N	σ	EV-3σ	EV-2σ	EV	EV+2σ	EV-3σ
1	0,9996	-3,00	-2,00	0,001	2,00	3,00
10	3,1611	-9,47	-6,31	0,015	6,34	9,50
100	9,9963	-29,8	-19,8	0,145	20,1	30,1
1 000	31,6	-93	-62	1,45	65	96
10 000	100,0	-285	-185	15	214	314
100 000	316,1	-803	-487	145	777	1 094
1 000 000	999,6	-1 547	-547	1452	3 452	4 451

 

Standard Deviation of N Spins, %
EVEN CHANCES
Confidence Limits	+/-3σ	99,73%
	+/-2σ		95,5%
N	σ	EV-3σ	EV-2σ	EV	EV+2σ	EV-3σ
1	99,963%	-297,2%	-197,2%	2,7%	202,6%	302,6%
10	31,611%	-92,1%	-60,5%	2,7%	556,5%	97,5%
100	9,996%	-27,3%	-17,3%	2,7%	177,8%	32,7%
1 000	3,161%	-6,8%	-3,6%	2,7%	9,0%	12,2%
10 000	1,000%	-0,3%	0,7%	2,7%	4,7%	5,7%
100 000	0,316%	1,8%	2,1%	2,7%	3,3%	3,7%
1 000 000	0,100%	2,4%	2,5%	2,7%	2,9%	3,0%

При увеличении числа спинов EV растет прямо пропорционально количеству спинов EV=Wager*N*(1/37) – на графике: зеленая прямая. Стандартное отклонение также растет при увеличении количества спинов пропорционально квадратному корню из количества спинов: SD=SD1*√N, где SD1-СКО единичной ставки в одном спине. На графике +/-3SD представлено рассеивание результата игры от среднего значения (EV) в диапазоне +/-3σ, в который попадают 99,7% всех фактических результатов. График +/2SD – область рассеивания +/-2σ -95,5% фактических результатов.

В абсолютном значении EV растет быстрее, чем SD. В относительном измерении (%) EV(%)=2.7%-const, т.е. процент удержания со ставки в отдельном спине неизменный и равен 2,7% (1/37) остается постоянным в каждом из N спинов. СКО – SD(%) в относительном измерении при увеличении количества спинов N, снижается и приближается к EV(%)=2.7%. Таким образом, график демонстрирует, что на длительной дистанции, при увеличении N рассеивание фактических результатов снижается, приближаясь к математически среднему значению EV.

 

Графики поведения EV и SD показывают, что на короткой дистанции при всегда положительном среднем ожидаемом результате EV, фактические результаты казино могут быть отрицательными – казино может проиграть на короткой дистанции – область ниже нуля. Ставка straight up является более дисперисонной, чем любая из ставок на even chances. SD straight_up>SD even_chances  почти в 6 раз (5.8378>0.99963). При длительной игре ставками на равные шансы (even chances) фактические результаты казино лежат в положительной области, начиная с 5600 спина, с вероятностью 95.45% (+/-2σ) и с вероятностью 99,73% (+/-3σ), начиная с 12400 спина. При игре ставками в номер (straight up) область рассеивания фактических результатов находится в положительной зоне лишь начиная со спина 190000 (95.45% вероятность) и 420000 (99,73%). Величина СКО (Standard Deviation) –  отражает уровень риска ставки, позволяет вычислить диапазон разброса фактических результатов от среднего математически ожидаемого значения на любой дистанции (любое N спинов) с заданной вероятностью. В абсолютных цифрах: игра ставкой 100$ на позицию straight up в течение 1000 спинов позволяет казино с вероятностью 99,7% ожидать  результат в диапазоне  от-148108$ до +202162$. Игра такой же ставкой 100$, но на позиции even chances в течение тех же 1000 спинов позволяет казино с вероятностью 99,7% ожидать  результат в диапазоне от-6781$ до +12186$.

Standard Deviation при игре комплитами (complete bet)

При игре комплитами номеров второй колонки (2nd column) номера 5,8,11,14,17,20,23,26,29,32 дисперсия и СКО максимальные. В крупной игре у казино существует риск крупного проигрыша, который необходимо оценить до начала игры и установить приемлемый для казино limit ставок. Казино может проиграть, когда диапазон рассеивания фактических результатов выходит в отрицательную область. Даже на более длительной дистанции, когда с вероятностью  95,45% казино диапазон рассеивания полностью находится в положительной области и казино рассчитывает на положительный итоговый результат, существует вероятность 4,55%, что фактические результаты выйдут за диапазон +/-2σ. Т.е. с вероятностью 2,2% (4,55%/2 – т.к. диапазон рассеивания симметричен) казино может проиграть значительную сумму. Приведем пример игры комплитами номер 8 по 100$. Ставка комплит 4000$ (40 фишек по 100$). EV=10811$, SD=8793$

COMPLETE 8
PayOut	k	Chips	Numbers	x	P	xP	x²P	m	x-m	p*(x-m)²
-40	100	40	0-12,22-36	-4 000	0,757	-3 027	12 108 108	-108,11	-3 892	11 462 460
392			17	39 200	0,027	1 059	41 530 811		39 308	41 760 199
32			13	3 200	0,027	86	276 757		3 308	295 772
104			14	10 400	0,027	281	2 923 243		10 508	2 984 333
32			15	3 200	0,027	86	276 757		3 308	295 772
32			19	3 200	0,027	86	276 757		3 308	295 772
104			20	10 400	0,027	281	2 923 243		10 508	2 984 333
32			21	3 200	0,027	86	276 757		3 308	295 772
176			16	17 600	0,027	476	8 371 892		17 708	8 475 057
176			18	17 600	0,027	476	8 371 892		17 708	8 475 057
∑		40	37		1	-108	77 336 216		8 793,44	77 324 529
SD=							8 793		SD	8 793

Средний ожидаемый результат игры неизменной ставкой в течение N спинов: EVn=1/37*Wager*N=108,1$*N. SDn=SD*√N. В игре, длительностью 100 спинов EV=10811$ – это математически средний ожидаемый результат, который на короткой дистанции 100 спинов никогда не возникнет в указанном значении. Фактические результаты игры комплитами центральной колонки по 100$ в течение 100 спинов с вероятностью 95,45% будут лежать в диапазоне:-165058$ до 186680$  и с вероятностью 99,73%: от -252992$ до 274614$.

STANDARD DEVIATION Complete bet_number 8_100$
Confidence Limit	99,7%
		95,5%
N	-3*SD	-2*SD	EV	+2*SD	+3*SD
100	-252 992	-165 058	10 811	186 680	274 614
200	-351 452	-227 094	21 622	270 338	394 696
500	-535 828	-339 200	54 054	447 308	643 936
1 000	-726 111	-448 038	108 108	664 254	942 327
6 500	-1 424 146	-715 196	702 703	2 120 602	2 829 551
10 000	-1 556 950	-677 606	1 081 081	2 839 768	3 719 112
26 465	-1 430 485	37	2 861 081	5 722 125	7 152 648
30 000	-1 325 960	197 107	3 243 243	6 289 379	7 812 447
40 000	-951 738	806 950	4 324 324	7 841 699	9 600 386
50 000	-493 411	1 472 861	5 405 405	9 337 950	11 304 222
59 550	285	2 146 136	6 437 838	10 729 539	12 875 390
70 000	587 994	2 914 518	7 567 568	12 220 617	14 547 142
100 000	2 468 624	5 249 353	10 810 811	16 372 268	19 152 997

Важно отметить, что при игре комплитами по 100$ казино может ожидать положительный результат с вероятностью 95,45% лишь после 26465 спинов, и с вероятностью 99,73%  после 59550 спинов.

Казино, при игре комплитами по 100$ на дистанции 1000 спинов, может иметь отрицательный результат свыше -448 038$ с вероятностью 2,2%!

Игра комплитами – высокодисперсионная игра, с высоким риском не только для игрока, но и для казино.

При назначении лимитов ставок (максимальной ставки на Рулетке для игры комплитами), необходимо производить расчет, оценку возможных потерь казино и риска платежеспособности на короткой дистанции.

Диапазон рассеивания +/- 2σ. Вероятность того, что для казино фактические результаты игры комплитами номера 8 будут в диапазоне +/- 2σ – 95,5%. Пересечение нижней дуги с осью асцисс (N спинов) происходит в точке 26465 спинов. Начиная со спина 26465 область рассеивания результатов находится в положительной области. Т.е. с вероятностью 95,5% результат игры для казино будет положительный. На дистанции до 26465 спинов Standard Deviation может принимать отрицательные значения. На отметке 10000 спинов результаты игры в денежном измерении попадают в диапазон -677606$ до 2839768$. При этом, на отметке 1000 спинов для казино существует вероятность 2,1% проигрыша в диапазоне(- 2σ;- 3σ)- в абсолютном выражении: от -677606$ до -1556950$.

Диапазон рассеивания +/- 3σ. Вероятность того, что для казино фактические результаты игры комплитами номера 8 будут в диапазоне +/- 3σ – 99,7%. Пересечение нижней дуги с осью асцисс (N спинов) происходит в точке59545 спинов. Начиная со спина59545 область рассеивания результатов находится в положительной области. Т.е. с вероятностью 99,7% результат игры для казино будет положительный. На дистанции до 59545 спинов Standard Deviation может принимать отрицательные значения. На отметке 10000 спинов результаты игры в денежном измерении попадают в диапазон -1556950$ до 3719112$. При этом, на отметке 10000 спинов для казино существует вероятность 0,15% проигрыша в сумме, превышающей значение-1556950$.

 

В относительном измерении (по отношению к N спинам) график рассеивания фактических результатов относительно математического ожидания при игре комплитами ведет себя так же, как и графики по любой другой ставке на Рулетке. Математическое ожидание результата (EV – Expected Value) равно 2,7% и остается неизменным, независимо от количества сыгранных спинов N и величины ставки (горизонтальная линия). Линии SD% (Standard Deviation) имеют тенденцию к затуханию: при увеличении количества спинов, степень рассеивания фактических результатов снижается, приближаясь к математическому среднему значению 2,7%.