Модель игры Dice Poker

В игре используются 5 кубиков с шестью гранями с цифрами от 1 до 6.

Игрок делает ставку на событие – выпадение выигрышной комбинации из пяти кубиков.

Выпадение каждого из чисел на каждом кубике равновероятно.

Игрок получает выплату только в случае выпадения выигрышной комбинации.

Выплата игроку производится по фиксированным коэффициентам, установленным для каждой выигрышной комбинации определенного ранга.

Раунд состоит из:

  • постановки ставки,
  • выпадения комбинации на пяти кубиках, брошенных одновременно,
  • определения ранга комбинации и результата Игры,
  • обслуживание ставки: выплата игроку, в случае выигрыша.

 

Задаем возможные комбинации

Комбинации представлены в порядке снижения ранга.

  • Five of a kind – одинаковое значение на всех пяти кубиках;
  • Four of a kind – на четырех кубиках выпало одинаковое значение, на любом одном из пяти выпало значение отличное от четырех одинаковых.
  • Straight – пять цифр, выпавших на пяти кубиках, обеспечивают непрерывную последовательность.
  • Full House – выпадение двух одинаковых цифр на двух и трех одинаковых цифр на трех других кубиках в произвольном порядке.
  • Three of a kind– выпадение трех одинаковых цифр на трех любых из пяти кубиков и двух других не одинаковых цифр на дву других кубиках.
  • Two pairs – два одинаковых значения на двух кубиках, два других одинаковых значения на других двух кубиках и на пятом кубике – значение, отличное от цифр пар.
  • Pair – два одинаковых значения на двух кубиках и три различных значения отличные от цифр пары на трех других кубиках.
  • Other – комбинации на пяти кубиках отличные от вышеперечисленных. Комбинации, не содержащие одинаковые цифры и непрерывную последовательность из пяти значений на пяти кубиках.

Старшей по рангу комбинаций является Five of a kind

При определении комбинации, порядок выпавших цифр на кубиках значения не имеет. Т.е. комбинация строится с учетом любых возможных перестановок. Например, выпавшее на пяти кубиках 52431 трактуются, как Straight 12345.

В дальнейшем, определенные Комбинации будут назначены выигрышными.  Комбинация и ее ранг – являются единственным критерием, определяющим выплату.

Рассчитываем вероятности и частоты выпадения каждой комбинации

65=7776 – полное количество вариантов результатов броска пяти кубиков

Из них:

Hand Combinations
1 Five of a kind 6
2 Four of a kind 150
3 Straight 240
4 Full House 300
5 Three of a kind 1 200
6 Two pairs 1 800
7 Pair 3 600
8 Other 480
  Total 7 776

Вероятность выпадения комбинации рассчитывается путем деления количества комбинаций определенного ранга на общее количество возможных комбинаций. Вероятность выпадения комбинации Five of a kind равна 0,000772=6/7776, что соответствует частоте 1:1296. Комбинация Five of a kind выпадает в среднем 1 раз в 1296 раундов. Частота выпадения комбинации – значение обратное Вероятности.

Расчет Вероятностей выпадения комбинаций формулами:

  1.  P(five of a kind)=6/(65)=6/7776=0.000771605
  2.  P(four of a kind)=6*comb(5;4)*comb(5;1)/(65)=0.019290123
  3.  P(straight)=2*5!/(65)=0.030864198
  4. P(full House)=6*comb(5;3)*5*comb(2;2)/(65)=0.038580247
  5. P(three of a kind)=6*comb(5;3)*2*comb(5;2)/(65)=0.154320988
  6.  P(two pairs)=4*comb(5;2)*comb(3;2)*comb(6;4)/(65)=0.23148148
  7.  P(pair)=6*comb(5;2)*3!*comb(5;3)/(65)=0.462962963
  8. P(other)=(comb(6;5)-2)*5!/(65)=0.061728395

∑Pi=1

comb(m;n)=m!/(n!*(m-n)!,  где  n!=1*2*..*n.

Исходя из вероятностей выпадения событий,  Straight выпадает реже, чем Full House!

Комбинации, которые оплачиваются, составляют 24,38%. В 75,62% ставка игрока проиграет. Т.е. каждая четвертая ставка выигрывает.

Hand Combinations Probability Cumulative Frequency
Five of a kind 6 0,000771605 0,243827 1 296
Four of a kind 150 0,019290123 52
Straight 240 0,030864198 32
Full House 300 0,038580247 26
Three of a kind 1 200 0,154320988 6
Two pairs 1 800 0,231481481 0,756173 4
Pair 3 600 0,462962963 2
Other 480 0,061728395 16
Total 7 776 1,00 1,00

Определяем состав выигрышных кобинаций

Назначаем выигрышные комбинации – комбинации, при выпадении которых производится выплата игроку:

  • Five of a kind
  • Four of a kind
  • Straight
  • Full House
  • Three of a kind

Остальные комбинации считаются проигравшими, выплата по ним не производится:

  • Two pairs
  • Pair
  • Other (no combination).

Устанавливаем нижний – минимальный коэффициент для минимальной, наиболее часто выпадающей выигрышной комбинации.

Three of a kind – коэффициент оплаты 1:1

Устанавливаем остальные коэффициенты оплаты выигрышных комбинаций, соблюдая пропроции между вероятностями (частотами) выпадения комбинаций:

Hand Probability Pays Return
Five of a kind 0,000771605 100 0,077160
Four of a kind 0,019290123 8 0,154321
Straight 0,030864198 5 0,154321
Full House 0,038580247 4 0,154321
Three of a kind 0,154320988 1 0,154321
Two pairs 0,231481481 -1 -0,231481
Pair 0,462962963 -1 -0,462963
Other 0,061728395 -1 -0,061728
Total 1,00 -0,0617
House Edge 6,17%

Коэффициенты, установленные в соответствии с пропорцией частот (вероятностей) выпадения, позволяют обеспечить равномерное удержание (доходность, return) по каждой комбинации. Если Three of a kind оплачивается 1:1, то следующая по старшинству и частоте выпадения комбинация Full House  будет оплачиваться 4:1, т.к. частота выпадения у комбинации Full House в 4 раза больше частоты выпадения комбинации Three of a kind.

Коэффициенты устанавливаются округленно и могут, в последствии, быть скорректированы в ту или иную сторону для обеспечения заданного уровня доходности игры.

Обеспечиваем заданный уровень доходности игры

Корректируем коэффициенты оплаты. Рассчитываем параметры Return и House Edge.

Коэффициенты оплаты для модели игры, когда ставка в случае выигрыша не забирается и остается у игрока. Ставка игрока забирается только в случае выпадения проигрышной комбинации:

Hand Probability Pays Won Lost Result Return
Five of a kind 0,000771605 100 600 600 0,077160
Four of a kind 0,019290123 8 1 200 1 200 0,154321
Straight 0,030864198 5 1 200 1 200 0,154321
Full House 0,038580247 4 1 200 1 200 0,154321
Three of a kind 0,154320988 1 1 200 1 200 0,154321
Two pairs 0,231481481 -1 -1 800 -1 800 -0,231481
Pair 0,462962963 -1 -3 600 -3 600 -0,462963
Other 0,061728395 -1 -480 -480 -0,061728
Total 1,00 5 400,00 -5 880 -480 -0,0617
House Edge 6,17%

Дале представлена таблица для модели игры, когда ставка всегда забирается. Для обеспечения такого же уровня доходности игры, каждый коэффициент следует увеличить на 1. В таблице, коэффициенты увеличены на 1 везде, кроме старшей комбинации (коэффициент 101 применять не удобно). В этом случае, доходность игры будет 6,25%.

Hand Probability Pays Won Lost Result Return
Five of a kind 0,000772 100 600 -6 594 0,076389
Four of a kind 0,019290 9 1 350 -150 1 200 0,154321
Straight 0,030864 6 1 440 -240 1 200 0,154321
Full House 0,038580 5 1 500 -300 1 200 0,154321
Three of a kind 0,154321 2 2 400 -1 200 1 200 0,154321
Two pairs 0,231481 -1 -1 800 -1 800 -0,231481
Pair 0,462963 -1 -3 600 -3 600 -0,462963
Other 0,061728 -1 -480 -480 -0,061728
Total 1,00 7 290 -7 776 -486 -0,0625
House Edge 6,25%

Старшая комбинация – Five of a kind – комбинация с минимальной вероятностью выпадения, имеет максимальный коэффициент 100, но Return по высшей комбинации меньше, чем у остальных. Эта настройка коэффициентом снижает дисперсию и ряд рисков, которые имеет казино в случае крупного проигрыша, или мошенничества со стороны игроков.

На данном этапе разработки игры с помощью изменения коэффициентов производится балансировка игры: нижние выигрышные комбинации (критерии выплат) имеют одинаковую доходность.

Как правило, во всех играх с подобной структурой, устанавливаются коэффициенты, обеспечивающие плавное снижение показателя Return по мере роста ранга комбинации.

Рассчитываем показатели рассеивания: Дисперсии и Стандартное отклонение

Формулы для расчета Дисперсии  и Стандартного отклонения

Hand P x xP x²P
Five of a kind 0,000772 100 0,077160 7,716049
Four of a kind 0,019290 8 0,154321 1,234568
Straight 0,030864 5 0,154321 0,771605
Full House 0,038580 4 0,154321 0,617284
Three of a kind 0,154321 1 0,154321 0,154321
Two pairs 0,231481 -1 -0,231481 0,231481
Pair 0,462963 -1 -0,462963 0,462963
Other 0,061728 -1 -0,061728 0,061728
Total 1,00 -0,0617 11,2500
SD= 3,3535
D= 11,2462

Или

Hand P x xP m x-m p(x-m)²
Five of a kind 0,000772 100 0,077160 -0,061728 100,061728 7,725578
Four of a kind 0,019290 8 0,154321 8,061728 1,253693
Straight 0,030864 5 0,154321 5,061728 0,790775
Full House 0,038580 4 0,154321 4,061728 0,636483
Three of a kind 0,154321 1 0,154321 1,061728 0,173961
Two pairs 0,231481 -1 -0,231481 -0,938272 0,203786
Pair 0,462963 -1 -0,462963 -0,938272 0,407571
Other 0,061728 -1 -0,061728 -0,938272 0,054343
Total 1,00 -0,0617 D= 11,2462
SD= 3,3535

Стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии:

Находим точку безубыточности игры

Рассчитываем модель игры неизменной единичной ставкой ставкой.

Определяем количество раундов, после которых игра будет приносить прибыль с заданным уровнем вероятности.

Определяем максимальный размер возможного проигрыша при игре плоской ставкой на короткой дистанции. Расчёт данных показателей необходим для обеспечения резерва для выплат.

Зеленая прямая – вектор роста дохода казино в зависимости от количества сыгранных раундов N. Угол наклона опеределяется величиной перевеса казино 6,17%.

Верхние и нижние кривые  отражают разброс (рассеивание) результата казино при игре неизменной ставкой 1$ в течение N раундов в доверительных интервалах +/-2σ и +/-3σ. Диапазон +/-3σ соответсвует уровню доверия 99,7%, а в диапазон +/-2σ попадают 95,5% результатов.

Графики поведения EV (Expected Value) и SD (Standard Deviation) показывают, что на короткой дистанции при всегда положительном среднем ожидаемом результате EV, фактические результаты казино могут быть отрицательными – казино может проиграть на короткой дистанции – область ниже нуля. Величина Standard Deviation отражает уровень риска, позволяет вычислить диапазон разброса фактических результатов от среднего математически ожидаемого значения на любой дистанции (любое N рундов) с заданной вероятностью.

Итак, из графика следует, что при игре полоской (неизменной) ставкой 1$ казино может иметь отрицательный результат – проигрыш не более 410$ при уровне доверия 99,7%. Причем с вероятностью 99,7% после 27 тыс. раундов результаты казино будут лежать целиком в положительной области. Купол в диапазоне +/-2σ имеет меньший диапазон рассеивания результатов. Зона отрицательных результатов меньше. Ссредний ожидаемый результат игры после 12000 раундов будет+740$ (1$*12000*6.17%=740$) и с вероятностью 95.5% фактические результаты игры будут лежать в диапазоне +/-2σ, что в денежном выражении от 6$ до 1843$, а означит, с вероятностью 95,5% фактический результат игры для казино будет целиком в положительной области, начиная с 12000 раунда.

Степень рассеивания результатов определяет значение Стандартного отклонения (σ=3,35). Чем меньше занчение σ, тем уже “купол” рассеивания. А математическое ожидание игры, Hose Edge 6.17% определяет угол наклона “купола”. Чем выше перевес казино в игре, тем меньше шансов у игрока на выигрыш на короткой дистанции, тем меньше средств нужно казино для обеспечения резерва для возможных выплат.

Dice Poker имеет умеренные значения House Edge и Standard Deviation. Игра обладает высокой динамикой, устойчивостью и стабильностью математической модели.

Играйте и выигрывайте!

Отставить отзыв

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *