Модель игры Dice Poker
В игре используются 5 кубиков с шестью гранями с цифрами от 1 до 6.
Игрок делает ставку на событие – выпадение выигрышной комбинации из пяти кубиков.
Выпадение каждого из чисел на каждом кубике равновероятно.
Игрок получает выплату только в случае выпадения выигрышной комбинации.
Выплата игроку производится по фиксированным коэффициентам, установленным для каждой выигрышной комбинации определенного ранга.
Раунд состоит из:
- постановки ставки,
- выпадения комбинации на пяти кубиках, брошенных одновременно,
- определения ранга комбинации и результата Игры,
- обслуживание ставки: выплата игроку, в случае выигрыша.
Комбинации
Комбинации представлены в порядке снижения ранга.
- Five of a kind – одинаковое значение на всех пяти кубиках;
- Four of a kind – на четырех кубиках выпало одинаковое значение, на любом одном из пяти выпало значение отличное от четырех одинаковых.
- Straight – пять цифр, выпавших на пяти кубиках, обеспечивают непрерывную последовательность.
- Full House – выпадение двух одинаковых цифр на двух и трех одинаковых цифр на трех других кубиках в произвольном порядке.
- Three of a kind– выпадение трех одинаковых цифр на трех любых из пяти кубиков и двух других не одинаковых цифр на дву других кубиках.
- Two pairs – два одинаковых значения на двух кубиках, два других одинаковых значения на других двух кубиках и на пятом кубике – значение, отличное от цифр пар.
- Pair – два одинаковых значения на двух кубиках и три различных значения отличные от цифр пары на трех других кубиках.
- Other – комбинации на пяти кубиках отличные от вышеперечисленных. Комбинации, не содержащие одинаковые цифры и непрерывную последовательность из пяти значений на пяти кубиках.
Старшей по рангу комбинаций является Five of a kind
При определении комбинации, порядок выпавших цифр на кубиках значения не имеет. Т.е. комбинация строится с учетом любых возможных перестановок. Например, выпавшее на пяти кубиках 52431 трактуются, как Straight 12345.
В дальнейшем, определенные Комбинации будут назначены выигрышными. Комбинация и ее ранг – являются единственным критерием, определяющим выплату.
Вероятности и частоты выпадения комбинаций
65=7776 – полное количество вариантов результатов броска пяти кубиков
Из них:
| № | Hand | Combinations |
| 1 | Five of a kind | 6 |
| 2 | Four of a kind | 150 |
| 3 | Straight | 240 |
| 4 | Full House | 300 |
| 5 | Three of a kind | 1 200 |
| 6 | Two pairs | 1 800 |
| 7 | Pair | 3 600 |
| 8 | Other | 480 |
| Total | 7 776 |
Вероятность выпадения комбинации рассчитывается путем деления количества комбинаций определенного ранга на общее количество возможных комбинаций. Вероятность выпадения комбинации Five of a kind равна 0,000772=6/7776, что соответствует частоте 1:1296. Комбинация Five of a kind выпадает в среднем 1 раз в 1296 раундов. Частота выпадения комбинации – значение обратное Вероятности.
Расчет Вероятностей выпадения комбинаций формулами:
- P(five of a kind)=6/(65)=6/7776=0.000771605
- P(four of a kind)=6*comb(5;4)*comb(5;1)/(65)=0.019290123
- P(straight)=2*5!/(65)=0.030864198
- P(full house)=6*comb(5;3)*5*comb(2;2)/(65)=0.038580247
- P(three of a kind)=6*comb(5;3)*2*comb(5;2)/(65)=0.154320988
- P(two pairs)=4*comb(5;2)*comb(3;2)*comb(6;4)/(65)=0.23148148
- P(pair)=6*comb(5;2)*3!*comb(5;3)/(65)=0.462962963
- P(other)=(comb(6;5)-2)*5!/(65)=0.061728395
∑Pi=1
comb(m;n)=m!/(n!*(m-n)!, где n!=1*2*..*n.
Исходя из вероятностей выпадения событий, Straight выпадает реже, чем Full House!
Состав выигрышных комбинаций
Выигрышные комбинации – комбинации, при выпадении которых производится выплата игроку:
- Five of a kind
- Four of a kind
- Straight
- Full House
- Three of a kind
- Two pairs
Остальные комбинации считаются проигравшими, выплата по ним не производится:
- Pair
- Other (no combination).
Win chance 47.5% – почти каждая вторая ставка выигрывает.
| Hand | Combinations | Probability | Cumulative |
| Five of a kind | 6 | 0,000772 | 0,475309 |
| Four of a kind | 150 | 0,019290 | |
| Straight | 240 | 0,030864 | |
| Full House | 300 | 0,038580 | |
| Three of a kind | 1 200 | 0,154321 | |
| Two pairs | 1 800 | 0,231481 | |
| Pair | 3 600 | 0,462963 | 0,524691 |
| Other | 480 | 0,061728 | |
| Total | 7 776 | 1,00 | 1,00 |
Устанавливаем нижний – минимальный коэффициент для минимальной, наиболее часто выпадающей выигрышной комбинации.
Two Pairs– коэффициент оплаты 4:3
Устанавливаем остальные коэффициенты оплаты выигрышных комбинаций, соблюдая пропорции между вероятностями (частотами) выпадения комбинаций:
| Hand | Probability | Pays | Return |
| Five of a kind | 0,000772 | 100:1 | 0,076389 |
| Four of a kind | 0,019290 | 5:1 | 0,077160 |
| Straight | 0,030864 | 7:2 | 0,077160 |
| Full House | 0,038580 | 3:1 | 0,077160 |
| Three of a kind | 0,154321 | 3:2 | 0,077160 |
| Two pairs | 0,231481 | 4:3 | 0,077160 |
| Pair | 0,462963 | 0 | -0,462963 |
| Other | 0,061728 | 0 | -0,061728 |
| Total | 1,00 | 0,00 | -0,0625 |
| House Edge | 6,25% | ||
Коэффициенты устанавливаются округленно и могут, в последствии, быть скорректированы в ту или иную сторону для обеспечения заданного уровня доходности игры.
Коэффициенты, установлены в соответствии с пропорцией частот (вероятностей) выпадения, позволяют обеспечить равномерное удержание (доходность, return) по каждой комбинации.
Доходность игры
Рассчитываем параметры Return и House Edge.
Коэффициенты оплаты для модели игры, когда ставка всегда забирается:
| Hand | Pays | Won | Lost | Result |
| Five of a kind | 100 | 600 | -6 | 594 |
| Four of a kind | 5 | 750 | -150 | 600 |
| Straight | 3,5 | 840 | -240 | 600 |
| Full House | 3 | 900 | -300 | 600 |
| Three of a kind | 1,5 | 1 800 | -1 200 | 600 |
| Two pairs | 1,3333 | 2 400 | -1 800 | 600 |
| Pair | -1 | 0 | -3 600 | -3 600 |
| Other | -1 | 0 | -480 | -480 |
| Total | 7 290 | -7 776 | -486 | |
| House Edge | 6,25% | |||
Старшая комбинация – Five of a kind – комбинация с минимальной вероятностью выпадения, имеет максимальный коэффициент 100!
House Edge = 6.25%
Win Chance = 47.5%
RTP = 93.75%
Показатели рассеивания: Дисперсия и Стандартное отклонение
Формулы для расчета Дисперсии и Стандартного отклонения
| Hand | P | x | xP | x²P |
| Five of a kind | 0,000772 | 99 | 0,076428 | 7,566372 |
| Four of a kind | 0,019290 | 4 | 0,077160 | 0,308640 |
| Straight | 0,030864 | 2,5 | 0,077160 | 0,192900 |
| Full House | 0,038580 | 2 | 0,077160 | 0,154320 |
| Three of a kind | 0,154321 | 0,5 | 0,077161 | 0,038580 |
| Two pairs | 0,231481 | 0,333 | 0,077160 | 0,025720 |
| Pair | 0,462963 | -1 | -0,462963 | 0,462963 |
| Other | 0,061728 | -1 | -0,061728 | 0,061728 |
| Total | 1,00 | -0,0625 | 8,8112 | |
| SD= | 2,97 | |||
| D= | 8,8 | |||
Или:
| Hand | P | x | xP | m | x-m | p(x-m)² |
| Five of a kind | 0,000772 | 99 | 0,076428 | -0,0625 | 99,062462 | 7,575923 |
| Four of a kind | 0,019290 | 4 | 0,077160 | 4,062462 | 0,318354 | |
| Straight | 0,030864 | 2,5 | 0,077160 | 2,562462 | 0,202660 | |
| Full House | 0,038580 | 2 | 0,077160 | 2,062462 | 0,164110 | |
| Three of a kind | 0,154321 | 0,5 | 0,077161 | 0,562462 | 0,048822 | |
| Two pairs | 0,231481 | 0,333 | 0,077160 | 0,395795 | 0,036262 | |
| Pair | 0,462963 | -1 | -0,462963 | -0,937538 | 0,406934 | |
| Other | 0,061728 | -1 | -0,061728 | -0,937538 | 0,054258 | |
| Total | 1,00 | -0,0625 | D= | 8,8 | ||
| SD= | 2,97 |
Находим точку безубыточности игры.
Стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии:
Рассчитываем модель игры неизменной единичной ставкой ставкой.
Определяем количество раундов, после которых игра будет приносить прибыль с заданным уровнем вероятности.
Определяем максимальный размер возможного проигрыша при игре плоской ставкой на короткой дистанции. Расчёт данных показателей необходим для обеспечения резерва для выплат.
Зеленая прямая – вектор роста дохода казино в зависимости от количества сыгранных раундов N. Угол наклона определяется величиной перевеса казино 6,25%.
Верхние и нижние кривые отражают разброс (рассеивание) результата казино при игре неизменной ставкой 1$ в течение N раундов в доверительных интервалах +/-2σ и +/-3σ. Диапазон +/-3σ соответствует уровню доверия 99,7%, а в диапазон +/-2σ попадают 95,5% результатов.
Графики поведения EV (Expected Value) и SD (Standard Deviation) показывают, что на короткой дистанции при всегда положительном среднем ожидаемом результате EV, фактические результаты казино могут быть отрицательными – казино может проиграть на короткой дистанции – область ниже нуля. Величина Standard Deviation отражает уровень риска, позволяет вычислить диапазон разброса фактических результатов от среднего математически ожидаемого значения на любой дистанции (любое N раундов) с заданной вероятностью.
Итак, из графика следует, что при игре полоской (неизменной) ставкой 1$ казино может иметь отрицательный результат – проигрыш не более 320$ при уровне доверия 99,7%. Причем с вероятностью 99,7% после 20 тыс. раундов результаты казино будут лежать целиком в положительной области.
Купол в диапазоне +/-2σ имеет меньший диапазон рассеивания результатов. Зона отрицательных результатов меньше. Средний ожидаемый результат игры после 9000 раундов будет+563$ (1$*9000*6.25%=563$) и с вероятностью 95.5% фактические результаты игры будут лежать в диапазоне +/-2σ, что в денежном выражении от 0$ до 1125$, а означит, с вероятностью 95,5% фактический результат игры для казино будет целиком в положительной области после 9000 раундов.
Степень рассеивания результатов определяет значение Стандартного отклонения (σ=2.97). Чем меньше значение σ, тем уже “купол” рассеивания. А математическое ожидание игры, Hose Edge 6.25% определяет угол наклона “купола”. Чем выше перевес казино в игре, тем меньше шансов у игрока на выигрыш на короткой дистанции, тем меньше средств нужно казино для обеспечения резерва для возможных выплат.
Dice Poker имеет умеренные значения House Edge и Standard Deviation. Игра обладает высокой динамикой, устойчивостью и стабильностью математической модели.
Играйте и выигрывайте!