В казино результаты случайных событий непредсказуемы в отдельности, однако множество случайных событий строго подчиняется законам статистики и теории вероятности.
Основной показатель, характеризующий игру и ставки House Advantage достигается только на длительной дистанции, после большого количества сыгранных спинов. Какое же количество спинов считать достаточным для оценки результатов? После какого “большого” количества спинов можно прогнозировать результат с высокой точностью?
Средний ожидаемый результат (Theoretical Win, %) по любой из ставок на Рулетке 2,7%. То есть, казино на длительной дистанции получит результат, равный 2,7% от величины всех сделанных игроком ставок. Чем больше спинов и ставок сделано, тем ближе фактический результат (Actual Win, %) приближается к теоретическому значению 2,7%. На короткой дистанции фактические результаты всегда отличаются от теоретического среднего значения. В теории вероятности, в отношении случайных событий в казино действует Закон больших чисел. Возникает вопрос, какую дистанцию считать “длинной”, сколько спинов нужно сыграть, чтобы фактические результаты стали близки к теоретическим значениям.
Упростим задачу. Рулетка. Рассмотрим два варианта игры неизменной (плоской) ставкой на straight up и на равные шансы (red) в течение N спинов. Рассчитаем количество N спинов, при которых фактическое значение показателя Actual Win, % будет отличаться от теоретического значения (Theoretical Win) 2,7% на +/-0,5%. То есть, фактический Actual Win будет лежать в диапазоне от 2,2% до 3,2%.
Вторым важнейшим показателем, характеризующим игру, ставку является Дисперсия. Дисперсия – мера разброса фактических результатов от математического ожидания.Стандартное отклонение (Standard Deviation) равно квадратному корню из Дисперсии: σ=√D.
На рулетке Стандартное отклонение ставки на равные шансы: σ=0.9996347 SDred=(1+1)*√18/37*19/37)=0.9996347
Далее для расчета на необходимо выбрать Confidence Level или доверительный интервал. Установим Confidence Level на уровне 95%. Это означает, что с вероятностью 95% фактический процент выигрыша для казино -Actual Win- будет лежать в диапазоне от 2,2% до 3,2% по итогам N спинов.
Уровню 95% (Confidence Level) соответствует значение z=1,959964 z-score (z оценка), что означает, что с вероятностью 95% фактические результаты игры будут лежать в диапазоне +/-1,96 стандартных отклонений. Confidence Level – назначаемый параметр. Определенному значению Confidence Level соответствует значение z-score.
Мы изначально задали диапазон отклонения показателя Actual Win +/-0,5% от эталонного значения 2,7% Theoretical Win, диапазон в котором должно лежать фактическое значение показателя Actual Win после сыгранных N спинов неизменной по величине ставкой на позицию Red (равные шансы). Таким образом, +/-0,5% ни что иное, как ε-точность, погрешность измерения. В нашем случае, это значение ε=0,5% или ε=0,005.
N=z²*σ²/(ε)²
Для ставки на равные шансы при Стандартное отклонение σ=0.9996347. Далее, для расчета N нам необходимо задать два назначаемых параметра Confidence Level и погрешность ε. Пусть ε=0.5%, CL=95%.
Заданный CL=95% определяет величину z-score: z=1.96 для CL=95%.
Тогда,
N=(1.96)²*(0.9996347)²/(0.005)²=153664 спинов.
Т.е. после 153 тыс. спинов фактическое значение показателя Actual Win будет лежать в диапазоне от 2,2% до 3,2% (2,7%+/0,5%) с вероятностью 95%.
Аналогичный расчет для ставки straight up, у которой на рулетке максимальная дисперсия и СКО: σ=5,8378
N=(1.96)²*(5.8378)²/(0.005)²=5236855 спинов.
Таким образом, чтобы ключевой показатель характеризующий доходность игры и ставки Actual Win приблизился к теоретическому среднему значению 2,7% с точностью +/-0,5% необходимо сыграть более 153 тыс. спинов ставкой на равные шансы и свыше 5,2 млн. спинов, играя ставкой на номер.
В расчетах мы можем расширить диапазон отклонения, задать иной Confidence Level и иную точность ε.
Если установить Confidence Level на уровне 98%, которому соответствует z-score 2.33, то точность измерения ε=0.5% для ставки на равные шансы уже достигается не после 153 тыс. спинов, а после 217 тыс. спинов:
N=(2.33)²*(0.9996347)²/(0.005)²=216722 спинов. Можно утверждать со степенью уверенности на 98%, что на отметке 217 тыс. спинов фактический результат игры неизменной ставкой на позиции even chances будет лежать в диапазоне +/-0,5% от математического ожидания – Theoretical Win.
Если задать уровень точности (ошибки) ε в значении равном 2,7%, то мы найдем значение N спинов, при котором фактические результаты игры для казино будут в абсолютном денежном выражении лежать полностью в положительной области с заданной вероятностью.
При CL=95% ε=2.7% для ставки на равные шансы: N=(1.96)²*(0.99)²/(0.027)²=5265 спинов Т.е. после 5,2 тыс. спинов фактические результаты игры для казино будут в положительной области с вероятностью 95%. Что означает, что на короткой дистанции до 5 тыс. спинов фактические результаты игры ставкой на равные шансы могут принести казино отрицательный результат.
При игре ставкой в номер, при σ=5,8378, CL=95% ε=2.7% N=(1.96)²*(5,84)²/(0.027)²=180 тыс. спинов. Ставка в номер намного более рискованная (более дисперсионная), чем ставка на равные шансы, поэтому при игре ставками в номер казино выходит в стабильный плюс намного позже, чем при игре ставками на равные шансы.