Среднеквадратическое отклонение –  количественная мера  рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Среднеквадратическое отклонение (Standard Deviation) – квадратный корень из Дисперсии.  σ ² — дисперсия. Дисперсия имеет размер квадрата случайной величины. Среднее квадратичное отклонение имеет размер случайной величины, поэтому для характеристики случайной величины часто удобнее использовать среднее квадратическое отклонение.

  • С вероятностью 99,73% значение нормально распределённой случайной величины лежит в интервале +/-3σНо существует 0,27% вероятность выхода за границы интервала+/-3σ.
  • С вероятностью 95,45% значение нормально распределённой случайной величины лежит в интервале +/-2σ.  Но существует 4,55% вероятность выхода за границы интервала+/-2σ.
  • С вероятностью 68,3% значение нормально распределённой случайной величины лежит в интервале +/-σ. Но существует 31,7% вероятность того, что очередное значение выйдет за приделы доверительного интервала+/-σ.

Расчет среднеквадратичного отклонения (СКО) ставок  на Рулетке

BET Num K D SD
Straight up 1 35 34,0804 5,8378
Split 2 17 16,5668 4,0702
Street 3 11 10,7290 3,2755
Corner 4 8 7,8101 2,7947
Six-line 6 5 4,8912 2,2116
Dozen 12 2 1,9722 1,4044
Even Chances 18 1 0,9993 0,9996
Les voisins du zero 17 79,5997 8,9219
Tier 12 71,0007 8,4262
Orphelins 8 98,93 9,9462
0-Spiel 7 72,42 8,510
Neighbours 5 5 151,47 12,307
Complete 8 9 7 732,5 87,934

Методология расчета SD(X) – среднеквадратичного отклонения: Итог по колонке xP – Средний ожидаемый результат ставки – Математическое ожидание результата (House Advantage). Следует отметить, что значение House Advantage по всем ставкам на Рулетке одинаков, то есть все ставки на Рулетке равнозначны по ожидаемому результату, но значительно отличаются друг от друга по Дисперсии и СКО. Далее в расчетах будем использовать следующую формулу:

Straight up
x P xP (xP)² x²P
-1 0,97297 -0,97297 0,94668 0,97297
35 0,02703 0,94595 0,89481 33,1081
1 -0,02703 0,00073 34,0811
SD= 5,8378
Var  D= 34,0804
Split
x P xP (xP)² x²P
-1 0,94595 -0,94595 0,89481 0,94595
17 0,05405 0,91892 0,84441 15,6216
1 -0,02703 1,73923 16,5676
SD= 4,0702
Var  D= 16,5668
Corner
x P xP (xP)² x²P
-1 0,89189 -0,89189 0,79547 0,89189
8 0,10811 0,86486 0,74799 6,91892
1 -0,02703 1,54346 7,81081
SD= 2,7947
Var  D= 7,8101
Street
x P xP (xP)² x²P
-1 0,91892 -0,91892 0,84441 0,91892
11 0,08108 0,89189 0,79547 9,81081
1 -0,02703 1,63988 10,7297
SD= 3,2755
Var  D= 10,7290
Even Chances
x P xP (xP)² x²P
-1 0,51351 -0,51351 0,2637 0,51351
1 0,48649 0,48649 0,23667 0,48649
1 -0,02703 0,50037 1
SD= 0,9996
Var  D= 0,9993
Track Neighbours – 5 numbers
x P xP (xP)² x²P
-5 0,86486 -4,32432 18,6998 21,6216
31 0,13514 4,18919 17,5493 129,865
1 -0,13514 36,2491 151,486
SD= 12,3072
Var  D= 151,4682
LES VOISINS DU ZERO
Вets Chips Numbers x P xP x²P
20 numbers -9 0,541 -4,865 43,784
street 0/2/3 2 0 15 0,027 0,405 6,081
2 15 0,027 0,405 6,081
3 15 0,027 0,405 6,081
split 4/7 1 4 9 0,027 0,243 2,189
7 9 0,027 0,243 2,189
split 12/15 1 12 9 0,027 0,243 2,189
15 9 0,027 0,243 2,189
split 18/21 1 18 9 0,027 0,243 2,189
21 9 0,027 0,243 2,189
split 19/22 1 19 9 0,027 0,243 2,189
22 9 0,027 0,243 2,189
corner 25/29 2 25 9 0,027 0,243 2,189
26 9 0,027 0,243 2,189
28 9 0,027 0,243 2,189
29 9 0,027 0,243 2,189
split 32/35 1 32 9 0,027 0,243 2,189
35 9 0,027 0,243 2,189
9 37 1 -0,243 92,676
Les voisins du zero SD= 9,624
Var= 92,617
TIER
Вets Chips Numbers x P xP x²P
25 numbers -6 0,676 -4,054 24,324
split 5/8 1 5 12 0,027 0,324 3,892
8 12 0,027 0,324 3,892
split 10/11 1 10 12 0,027 0,324 3,892
11 12 0,027 0,324 3,892
split 13/16 1 13 12 0,027 0,324 3,892
16 12 0,027 0,324 3,892
split 23/24 1 23 12 0,027 0,324 3,892
24 12 0,027 0,324 3,892
split 27/30 1 27 12 0,027 0,324 3,892
30 12 0,027 0,324 3,892
split 33/36 1 33 12 0,027 0,324 3,892
36 12 0,027 0,324 3,892
6 37 1 -0,162 71,027
Tier SD= 8,426
Var D= 71,0007
ORPHELINS
Вets Chips Numbers x P xP x²P
29 numbers -5 0,784 -3,919 19,595
straight up 1 1 1 31 0,027 0,838 25,973
split 6/9 1 6 13 0,027 0,351 4,568
9 13 0,027 0,351 4,568
split 14/17 1 14 13 0,027 0,351 4,568
split 14/17 и split 17/20 17 31 0,027 0,838 25,973
 split 17/20 1 20 13 0,027 0,351 4,568
split 31/34 1 31 13 0,027 0,351 4,568
34 13 0,027 0,351 4,568
5 37 1 -0,135 98,946
Orphelins  SD= 9,946
Var D= 98,928
0-SPIEL
Вets Chips Numbers x P xP x²P
30 numbers -4 0,811 -3,243 12,973
split 0/3 1 0 14 0,027 0,378 5,297
3 14 0,027 0,378 5,297
split 12/15 1 12 14 0,027 0,378 5,297
15 14 0,027 0,378 5,297
straight up 26 1 26 32 0,027 0,865 27,676
split 32/35 1 32 14 0,027 0,378 5,297
35 14 0,027 0,378 5,297
4 37 1 -0,108 72,432
0-Spiel   SD= 8,510
Var D= 72,421

Сравнение среднеквадратичного отклонения различных ставок на Рулетке

Как видно из предыдущих таблиц, Дисперсия и СКО ставки Straight up значительно выше, чем СКО ставки на Dozen или Red. Играя только ставками Straight up результаты будут значительно отличаться от математического ожидания на короткой дистанции. Играя ставками на равные шансы (Even Chances) необходимо сыграть значительно меньше спинов (spin), чтобы итоговый результат игры приблизился к математическому ожиданию, чем при игре ставками в номера (Straight up) . С другой стороны, игра ставками с высокой дисперсией, с высоким риском позволяет игроку получить больший выигрыш на короткой дистанции.

 Среднеквадратичное отклонение в серии спинов

В игре на Рулетке равными ставками в номер и на равные шансы в серии 10000, 1000, 100 спинов:   σ1 – рассеивание фактических результатов при 10 000 спинов значительно меньше σ2 (1000 спинов) и σ3 (100 спинов). Чем больше выборка, тем ближе фактический результат приближается к математическому ожиданию. При увеличении количества спинов фактические результаты имеют меньшее рассеивание относительно среднего значения.

Графическое отражение EV SD

Standard Deviation of N Spins
STRAIGHT UP
Confidence Limits  +/-3 σ 99,73%
 +/-2 σ 95,5%
N σ EV-3σ EV-2σ EV EV+2σ EV-3σ
1 5,838 -17,49 -11,65 0,02703 11,70 17,54
10 18,46 -55,11 -36,65 0,27 37,19 55,65
100 58,4 -172,4 -114,1 2,7 119,5 177,8
1 000 185 -527 -342 27 396 581
10 000 584 -1 481 -897 270 1 438 2 022
100 000 1 846 -2 836 -989 2 703 6 395 8 241
1 000 000 5 838 9 514 15 351 27 027 38 703 44 541

 

Standard Deviation of N Spins, %
STRAIGHT UP
Confidence Limits  +/-3σ 99,73%
 +/-2σ 95,5%
N σ EV-3σ EV-2σ EV EV+2σ EV-3σ
1 583,8% -1748,6% -1164,9% 2,7% 1754,1% 1754,1%
10 184,6% -551,1% -366,5% 2,7% 556,5% 556,5%
100 58,38% -172,4% -114,1% 2,7% 177,8% 177,8%
1 000 18,46% -52,7% -34,2% 2,7% 58,1% 58,1%
10 000 5,838% -14,8% -9,0% 2,7% 20,2% 20,2%
100 000 1,846% -2,8% -1,0% 2,7% 8,2% 8,2%
1 000 000 0,584% 1,0% 1,5% 2,7% 4,5% 4,5%

 

Standard Deviation of N Spins
EVEN CHANCES
Confidence Limits  +/-3σ 99,73%
 +/-2σ 95,5%
N σ EV-3σ EV-2σ EV EV+2σ EV-3σ
1 0,9996 -3,00 -2,00 0,001 2,00 3,00
10 3,1611 -9,47 -6,31 0,015 6,34 9,50
100 9,9963 -29,8 -19,8 0,145 20,1 30,1
1 000 31,6 -93 -62 1,45 65 96
10 000 100,0 -285 -185 15 214 314
100 000 316,1 -803 -487 145 777 1 094
1 000 000 999,6 -1 547 -547 1452 3 452 4 451

 

Standard Deviation of N Spins, %
EVEN CHANCES
Confidence Limits  +/-3σ 99,73%
 +/-2σ 95,5%
N σ EV-3σ EV-2σ EV EV+2σ EV-3σ
1 99,963% -297,2% -197,2% 2,7% 202,6% 302,6%
10 31,611% -92,1% -60,5% 2,7% 556,5% 97,5%
100 9,996% -27,3% -17,3% 2,7% 177,8% 32,7%
1 000 3,161% -6,8% -3,6% 2,7% 9,0% 12,2%
10 000 1,000% -0,3% 0,7% 2,7% 4,7% 5,7%
100 000 0,316% 1,8% 2,1% 2,7% 3,3% 3,7%
1 000 000 0,100% 2,4% 2,5% 2,7% 2,9% 3,0%
При увеличении числа спинов EV растет прямо пропорционально количеству спинов EV=Wager*N*(1/37) – на графике: зеленая прямая. Стандартное отклонение также растет при увеличении количества спинов пропорционально квадратному корню из количества спинов: SD=SD1*√N, где SD1-СКО единичной ставки в одном спине. На графике +/-3SD представлено рассеивание результата игры от среднего значения (EV) в диапазоне +/-3σ, в который попадают 99,7% всех фактических результатов. График +/2SD – область рассеивания +/-2σ -95,5% фактических результатов.
В абсолютном значении EV растет быстрее, чем SD. В относительном измерении (%) EV(%)=2.7%-const, т.е. процент удержания со ставки в отдельном спине неизменный и равен 2,7% (1/37) остается постоянным в каждом из N спинов. СКО – SD(%) в относительном измерении при увеличении количества спинов N, снижается и приближается к EV(%)=2.7%. Таким образом, график демонстрирует, что на длительной дистанции, при увеличении N рассеивание фактических результатов снижается, приближаясь к математически среднему значению EV.

 

Графики поведения EV и SD показывают, что на короткой дистанции при всегда положительном среднем ожидаемом результате EV, фактические результаты казино могут быть отрицательными – казино может проиграть на короткой дистанции – область ниже нуля. Ставка straight up является более дисперисонной, чем любая из ставок на even chances. SD straight_up>SD even_chances  почти в 6 раз (5.8378>0.99963). При длительной игре ставками на равные шансы (even chances) фактические результаты казино лежат в положительной области, начиная с 5600 спина, с вероятностью 95.45% (+/-2σ) и с вероятностью 99,73% (+/-3σ), начиная с 12400 спина. При игре ставками в номер (straight up) область рассеивания фактических результатов находится в положительной зоне лишь начиная со спина 190000 (95.45% вероятность) и 420000 (99,73%). Величина СКО (Standard Deviation) –  отражает уровень риска ставки, позволяет вычислить диапазон разброса фактических результатов от среднего математически ожидаемого значения на любой дистанции (любое N спинов) с заданной вероятностью. В абсолютных цифрах: игра ставкой 100$ на позицию straight up в течение 1000 спинов позволяет казино с вероятностью 99,7% ожидать  результат в диапазоне  от-148108$ до +202162$. Игра такой же ставкой 100$, но на позиции even chances в течение тех же 1000 спинов позволяет казино с вероятностью 99,7% ожидать  результат в диапазоне от-6781$ до +12186$.

Standard Deviation при игре комплитами (complete bet)

При игре комплитами номеров второй колонки (2nd column) номера 5,8,11,14,17,20,23,26,29,32 дисперсия и СКО максимальные. В крупной игре у казино существует риск крупного проигрыша, который необходимо оценить до начала игры и установить приемлемый для казино limit ставок. Казино может проиграть, когда диапазон рассеивания фактических результатов выходит в отрицательную область. Даже на более длительной дистанции, когда с вероятностью  95,45% казино диапазон рассеивания полностью находится в положительной области и казино рассчитывает на положительный итоговый результат, существует вероятность 4,55%, что фактические результаты выйдут за диапазон +/-2σ. Т.е. с вероятностью 2,2% (4,55%/2 – т.к. диапазон рассеивания симметричен) казино может проиграть значительную сумму. Приведем пример игры комплитами номер 8 по 100$. Ставка комплит 4000$ (40 фишек по 100$). EV=10811$, SD=8793$

COMPLETE 8
PayOut k Chips Numbers x P xP x²P m x-m p*(x-m)²
-40 100 40 0-12,22-36 -4 000 0,757 -3 027 12 108 108 -108,11 -3 892 11 462 460
392 17 39 200 0,027 1 059 41 530 811 39 308 41 760 199
32 13 3 200 0,027 86 276 757 3 308 295 772
104 14 10 400 0,027 281 2 923 243 10 508 2 984 333
32 15 3 200 0,027 86 276 757 3 308 295 772
32 19 3 200 0,027 86 276 757 3 308 295 772
104 20 10 400 0,027 281 2 923 243 10 508 2 984 333
32 21 3 200 0,027 86 276 757 3 308 295 772
176 16 17 600 0,027 476 8 371 892 17 708 8 475 057
176 18 17 600 0,027 476 8 371 892 17 708 8 475 057
40 37 1 -108 77 336 216 8 793,44 77 324 529
SD= 8 793 SD 8 793

Средний ожидаемый результат игры неизменной ставкой в течение N спинов: EVn=1/37*Wager*N=108,1$*N. SDn=SD*√N. В игре, длительностью 100 спинов EV=10811$ – это математически средний ожидаемый результат, который на короткой дистанции 100 спинов никогда не возникнет в указанном значении. Фактические результаты игры комплитами центральной колонки по 100$ в течение 100 спинов с вероятностью 95,45% будут лежать в диапазоне:-165058$ до 186680$  и с вероятностью 99,73%: от -252992$ до 274614$.

STANDARD DEVIATION Complete bet_number 8_100$
Confidence Limit 99,7%
95,5%
N -3*SD -2*SD EV +2*SD +3*SD
100 -252 992 -165 058 10 811 186 680 274 614
200 -351 452 -227 094 21 622 270 338 394 696
500 -535 828 -339 200 54 054 447 308 643 936
1 000 -726 111 -448 038 108 108 664 254 942 327
6 500 -1 424 146 -715 196 702 703 2 120 602 2 829 551
10 000 -1 556 950 -677 606 1 081 081 2 839 768 3 719 112
26 465 -1 430 485 37 2 861 081 5 722 125 7 152 648
30 000 -1 325 960 197 107 3 243 243 6 289 379 7 812 447
40 000 -951 738 806 950 4 324 324 7 841 699 9 600 386
50 000 -493 411 1 472 861 5 405 405 9 337 950 11 304 222
59 550 285 2 146 136 6 437 838 10 729 539 12 875 390
70 000 587 994 2 914 518 7 567 568 12 220 617 14 547 142
100 000 2 468 624 5 249 353 10 810 811 16 372 268 19 152 997

Важно отметить, что при игре комплитами по 100$ казино может ожидать положительный результат с вероятностью 95,45% лишь после 26465 спинов, и с вероятностью 99,73%  после 59550 спинов.

Казино, при игре комплитами по 100$ на дистанции 1000 спинов, может иметь отрицательный результат свыше -448 038$ с вероятностью 2,2%!

Игра комплитами – высокодисперсионная игра, с высоким риском не только для игрока, но и для казино.

При назначении лимитов ставок (максимальной ставки на Рулетке для игры комплитами), необходимо производить расчет, оценку возможных потерь казино и риска платежеспособности на короткой дистанции.

Диапазон рассеивания +/- 2σ. Вероятность того, что для казино фактические результаты игры комплитами номера 8 будут в диапазоне +/- 2σ – 95,5%. Пересечение нижней дуги с осью асцисс (N спинов) происходит в точке 26465 спинов. Начиная со спина 26465 область рассеивания результатов находится в положительной области. Т.е. с вероятностью 95,5% результат игры для казино будет положительный. На дистанции до 26465 спинов Standard Deviation может принимать отрицательные значения. На отметке 10000 спинов результаты игры в денежном измерении попадают в диапазон -677606$ до 2839768$. При этом, на отметке 1000 спинов для казино существует вероятность 2,1% проигрыша в диапазоне(- 2σ;- 3σ)- в абсолютном выражении: от -677606$ до -1556950$.

Диапазон рассеивания +/- 3σ. Вероятность того, что для казино фактические результаты игры комплитами номера 8 будут в диапазоне +/- 3σ – 99,7%. Пересечение нижней дуги с осью асцисс (N спинов) происходит в точке59545 спинов. Начиная со спина59545 область рассеивания результатов находится в положительной области. Т.е. с вероятностью 99,7% результат игры для казино будет положительный. На дистанции до 59545 спинов Standard Deviation может принимать отрицательные значения. На отметке 10000 спинов результаты игры в денежном измерении попадают в диапазон -1556950$ до 3719112$. При этом, на отметке 10000 спинов для казино существует вероятность 0,15% проигрыша в сумме, превышающей значение-1556950$.

 

В относительном измерении (по отношению к N спинам) график рассеивания фактических результатов относительно математического ожидания при игре комплитами ведет себя так же, как и графики по любой другой ставке на Рулетке. Математическое ожидание результата (EV – Expected Value) равно 2,7% и остается неизменным, независимо от количества сыгранных спинов N и величины ставки (горизонтальная линия). Линии SD% (Standard Deviation) имеют тенденцию к затуханию: при увеличении количества спинов, степень рассеивания фактических результатов снижается, приближаясь к математическому среднему значению 2,7%.

3 комментария
    1. Спасибо . К сожалению, из-за сложности расчета, дисперсия незаслуженно рассматривается, как второстепенный параметр при анализе ставок и игры вцелом. Тем не менее, это важнейший параметр, который необходимо уметь рассчитывать и правильно использовать в анализе игровых процессов.

  1. Сверхполезная информация, как в этой статье, так и во всей части CASINO MATH. Спасибо автору, позволил сэкономить огромное количество часов на некоторых подсчетах!

Добавить комментарий для Andrey Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *